Física Estadística y Termodinámica

Física Estadística

Teoría cinética de
los gases

Ecuación de la trans-
 formación adiabática.

Fórmula de la
estadística clásica 

Niveles discretos
de energía

Experimento de
Stern-Gerlach

Vibración de las
moléculas diatómicas

Modelo simple
de atmósfera

Distribución de las
velocidades de las
moléculas

Incremento de la temperatura del gas durante la compresión

En la deducción de la ley de los gases ideales a partir de los choques de las moléculas con las paredes del recipiente, hemos supuesto que el émbolo está fijo. De modo, que la molécula rebota cuando choca con el émbolo cambiando el signo de la componente X su velocidad.

Mediante un modelo simple se han interpretado microscópicamente las magnitudes macroscópicas presión y temperatura. Los pasos han sido los siguientes:

1. Determinar el cambio de momento lineal que experimenta una molécula cuando choca con el émbolo.
2. Determinar el número de choques que experimentan las moléculas con el émbolo en la unidad de tiempo.
3. Calcular la fuerza que ejerce el émbolo sobre las moléculas del gas para producirles dicho cambio de momento lineal.
4. Relacionar de la temperatura con la energía cinética media de las moléculas.

En la derivación de la ecuación de la transformación adiabática, no se emplea ni el primer principio ni la ecuación de estado de un gas ideal, solamente la relación entre energía cinética media de las moléculas del gas y su temperatura, es decir, la definición cinética de temperatura.

Choque de una molécula contra un émbolo móvil

Cuando un émbolo se mueve hacia la izquierda comprimiendo el gas encerrado en el recipiente, las moléculas que chocan contra el émbolo, como podemos ver en las sucesivas figuras, incrementan su velocidad a causa de su choque con una pared móvil.

Mediante este mecanismo el émbolo incrementa la energía de las partículas encerradas en el recipiente. La velocidad de desplazamiento del émbolo es muy pequeña comparada con la velocidad de las moléculas, la energía ganada por una molécula en su choque con el émbolo es rápidamente redistribuida entre las otras partículas del gas, de modo que el gas está siempre en equilibrio.

Supongamos que el gas consiste en N partículas contenida en el volumen cilíndrico de longitud L, tal como se muestra en la figura. Si el gas tiene N partículas, el tiempo medio entre dos colisiones es Cada molécula del gas cambia su velocidad en el choque contra el émbolo móvil desde vx a –vx-2ve.

Se supone que el émbolo no cambia de velocidad como resultado del choque con las moléculas ya que su masa M es muy grande comparada con la masa m de una molécula. Sin embargo, como el número de choques es muy grande, para que el émbolo se mantenga con velocidad constante es necesario ejercer una fuerza.

La ganancia de energía cinética que experimenta el gas en cada choque con el émbolo es

Hemos supuesto que la velocidad con la que se mueve el émbolo v_e es mucho más pequeña que la velocidad promedio v_x de las moléculas del gas.

Incremento de la temperatura del gas durante la compresión

El incremento de energía cinética en cada choque se redistribuye entre todas las moléculas del gas. La energía media ganada por partícula es 2mv_xv_e/N, y este incremento de energía se refleja en un incremento de temperatura

donde la velocidad de desplazamiento del émbolo es v_e=-DL/Dt, el desplazamiento DL del émbolo que ocurre entre dos choques sucesivos Dt.

Introducimos el valor de Dt (tiempo medio entre dos colisiones) calculado en el apartado anterior.

Como hemos visto en la página anterior, las velocidades a lo largo del eje X no estarán relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto, < v²>=3< v²_x>.

Como el término mv² es el doble de la energía cinética media, expresándolo en función de la temperatura T, queda la relación

Finalmente, la relación entre las magnitudes macroscópicas volumen y temperatura es,

Integrando obtenemos la relación entre el volumen y la temperatura del gas ideal, o bien la relación entre la presión y el volumen

Para un gas monoatómico, los calores específicos son: c_v=5R/2 y c_p=c_v+R=5R/2. De modo que g =c_p/c_v=5/3

La ecuación para una transformación adiabática es por tanto,