Movimiento ondulatorio

Acústica

Ondas estacionarias
en tubos

Velocidad del sonido
en una barra

Velocidad del sonido
en un gas

Análisis de Fourier

Efecto Doppler

El observador está en movimiento

Deducción de la fórmula del efecto Doppler

Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente. Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor a su descubridor.

En primer lugar, vamos a observar el fenómeno, y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas v_s, la velocidad del emisor v_E y la velocidad del observador v_O.

Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. Vamos a fijar la velocidad de propagación del sonido en una unidad v_s=1, y que el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, l =v_sP.

El observador en reposo

Empezamos por el caso más sencillo, en el que el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.

El emisor está en reposo (v_E=0)

Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido.

En el estudio de las del movimiento ondulatorio armónico, establecimos la relación entre longitud de onda y periodo, l =v_sP, el observador mide la misma longitud de onda, igual a la distancia entre dos frentes de onda consecutivos.

• La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, l_E=l_O=1.

Cuando el emisor está en movimiento (v_E<v_s)

Consideramos primero el caso de que la velocidad del emisor v_E sea menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio v_s (v_E<1).

Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.

• Observador situado a la derecha del emisor l _O<l _E
• Observador situado a la izquierda del emisor l _O>l _E

Como l =vP, o bien l =v/u , hay una relación inversa entre longitud de onda y frecuencia.

• Observador situado a la derecha del emisor u_O>u_E
• Observador situado a la izquierda del emisor u_O<u_E

Si el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha del emisor, será más agudo y el sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador, éste escucha un sonido más agudo, cuando el emisor se aleja del observador, éste escucha un sonido más grave.

Si pulsamos el botón titulado Pausa, la imagen congelada de los sucesivos frentes de onda puede ser fácilmente reproducida en papel utilizando la regla y el compás, sobre todo en el caso en que la velocidad del emisor sea v_E=0.5. En un periodo de tiempo, el frente de ondas se desplaza una longitud de onda (una unidad) mientas que el emisor se desplaza en el mismo tiempo media longitud de onda (media unidad).

Pulsando sucesivamente en el botón titulado Paso, podemos medir el periodo o intervalo de tiempo que transcurre para el observador en el paso de dos frentes de ondas consecutivos. La inversa de las cantidades medidas nos dará las frecuencias de las ondas para el observador situado a la izquierda del emisor y para el situado a su derecha.

Cuando el emisor está en movimiento (v_E=v_s)

Cuando la velocidad del emisor v_E sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio v_s (v_E=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.

Cuando el emisor está en movimiento (v_E>v_s)

Cuando la velocidad del emisor v_E sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio v_s (v_E>1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, y no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.

El observador está en movimiento (v_E<v_s y v_O<v_s)

Consideramos solamente el caso en el que la velocidad del emisor y la velocidad del observador es menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio.

Introducimos las velocidades del emisor y del observador en sus controles de edición respectivos. Las cantidades introducidas deben de ser menores que la unidad en valor absoluto, positivas en el caso del emisor y positivas o negativas en el caso del observador.

Podemos comprobar que el efecto Doppler se debe al movimiento relativo del observador con respecto al emisor, haciendo que el observador y el emisor se muevan con la misma velocidad y en la misma dirección. Medimos el tiempo que tarda en pasar al emisor dos frentes de ondas consecutivos, y lo comparamos con el periodo de las ondas emitidas (una unidad de tiempo). ¿Coinciden ambas cantidades?. Para medir dichos intervalos de tiempo, utilizar los botones Pausa/Continua y Paso. 

Deducción de la fórmula del efecto Doppler

A partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler.

Supongamos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo P. En el instante inicial t=0 en el que se emite la primer señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión.

La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La primera señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe, podemos por tanto, escribir la ecuación

La segunda señal se emite en el instante P, y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza v_EP. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura. Por tanto, podemos escribir la ecuación

Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo P’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo P de las ondas emitidas.

Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.