Presi�n producida por la curvatura de una superficie

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Fluidos

Tensi�n superficial
Gotas. Ley de Tate
marca.gif (847 bytes)Presi�n producida por la
 curvatura de una superficie
M�todo de la burbuja
Fen�menos capilares

 

Presi�n producida por la curvatura de una superficie

Comunicando dos pompas de jab�n.

java.gif (886 bytes)Actividades

 

Presi�n producida por la curvatura de una superficie

Vamos a mostrar que en el interior de una gota o una burbuja en equilibrio hay una presi�n superior a la externa. Este exceso de presi�n es debido a la curvatura de la superficie l�mite de separaci�n.

tension_3.gif (2824 bytes) Las fuerzas de presi�n ejercen una fuerza que es normal a la superficie.

Supongamos que  la presi�n en el interior de la burbuja es p y en el exterior es p0, entonces la fuerza sobre una porci�n dA de la l�mina es (p-p0)dA, su componente X es (p-p0)dAcosq . Pero dAcosq es la proyecci�n del �rea sobre un plano perpendicular al eje X.

La diferencia de presi�n entre el interior de la burbuja y el exterior origina fuerzas sobre la superficie de la burbuja perpendiculares a la superficie esf�rica, tal como indican las flechas azules de la figura de abajo. Su proyecci�n a lo largo del eje horizontal X, ser� el producto de la diferencia de presi�n (p-p0) por el �rea proyectada sobre un plano perpendicular al eje X (la proyecci�n de una semiesfera de radio R, sobre un plano es un c�rculo de �rea p R2.

tension_4.gif (2151 bytes) Una burbuja est� formada por dos l�minas superficiales esf�ricas muy pr�ximas entre s�. Consideremos la mitad de la burbuja y busquemos las fuerzas que mantienen a esa porci�n en equilibrio.
  • La fuerza que origina la diferencia de presi�n es F1= (p-p0) p R2
  • Fuerza originada por la tensi�n superficial

La mitad izquierda de la burbuja (no representada) ejerce una fuerza hacia la izquierda igual a dos veces la tensi�n superficial por el per�metro (flechas rojas en la figura)    F2=2g �2p R

En el equilibrio F1=F2

la diferencia de presiones es tanto mayor cuanto menor es el radio R. Esta expresi�n es un caso particular de la denominada ley de Laplace.

El factor cuatro aparece por que una pompa de jab�n tiene dos caras: interior y exterior. En el caso de una burbuja de agua, solamente hay una cara por lo que la diferencia de presi�n se reduce a la mitad.

 

Comunicando dos pompas de jab�n

Si ponemos dos pompas de jab�n de radios R1 y R2 en los extremos de un tubo, y abrimos la llave que las comunica veremos que la pompa de jab�n de radio menor es "comida" por la pompa de radio mayor.

tension_5.gif (2466 bytes) La diferencia de presi�n entre el exterior y el interior de una pompa de jab�n es muy peque�a comparada con la presi�n atmosf�rica. Por tanto, podemos considerar la densidad del aire no cambia (fluido incompresible) cuando pasa de una pompa a la otra.

La diferencia de presi�n entre las esferas de radio R1 y de radio R2 ser�n

Como consecuencia de la diferencia de presi�n, el aire circula por el tubo de comunicaci�n con una velocidad dada por el teorema de Bernoulli

El volumen de aire que pasa de la segunda esfera a la primera en el tiempo dt es vSdt, siendo S la secci�n del tubo que comunica ambas esferas.

El volumen de la primera esfera aumenta, y el de la segunda disminuye.

dV1=Svdt

El volumen total es constante, , e igual al volumen inicial.

Tenemos que integrar la ecuaci�n diferencial con la condici�n inicial siguiente, en el instante t=0, los radios iniciales de las esferas son, respectivamente, R01 y R02.

El programa interactivo realiza la integral respecto de R1 aplicando el procedimiento num�rico de Simpson, obtiene una tabla de valores (R, t) y a partir de ellos calcula una funci�n de interpolaci�n para cualquier valor de t empleando el procedimiento denominado polinomio de Lagrange.

 

Actividades

Se introduce el radio inicial de cada una de las esferas, en los controles de edici�n titulados Radio burbuja. En la parte izquierda se representa la esfera de mayor radio.

Se introduce un valor para la tensi�n superficial de la pompa de jab�n comprendido entre 20�10-3 y 80�10-3 N/m, en el control de edici�n titulado Tensi�n superficial.

Se pulsa el bot�n titulado Empieza para observar como la burbuja peque�a se hace cada vez m�s peque�a mientras crece la burbuja grande.

Observar el tiempo que tarda en desaparecer la burbuja peque�a, comparando diversas situaciones:

  • Cambiando los radios iniciales de las esferas
  • Manteniendo fijos los radios iniciales y modificando el valor de la tensi�n superficial.

 

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