Dependencia del estado inicial

Bifurcaciones

Nuestro oscilador caótico tiene un inconveniente, y es que es difícil de representar las bifurcaciones, es decir, las frecuencias a las que se duplica el periodo del oscilador. Por tanto, vamos a examinar el comportamiento de un sistema análogo no lineal para diferentes valores de un parámetro A, y a partir de un estado inicial dado. Dicho sistema viene dado por la siguiente expresión, denominada ecuación logística

X_j+1=4AX_j(1-X_j)

donde

• X_j es el estado actual del sistema
• X_j+1 es el estado del sistema un instante posterior
• A es un parámetro que puede tomar cualquier valor en el intervalo (0, 1)

Para hallar el estado del sistema en distintos instantes se sigue un proceso iterativo: se comienza con un valor inicial X₀, se halla el valor X₁ a partir de la ecuación logística,

X₁=4AX₀(1-X₀).

Este último, es el valor inicial que nos sirve para la siguiente iteración

X₂=4AX₁(1-X₁)

Y así sucesivamente.

Dado el valor del parámetro A, el estado del sistema puede tender hacia un valor único e independiente del valor inicial, puede oscilar entre dos valores fijos, entre cuatro, etc. A partir de un cierto valor crítico A_c=0.892486, el sistema oscila entre infinidad de estados y su comportamiento es dependiente del valor inicial de partida.

Comparándolo con el sistema masa-muelle estudiado anteriormente, el valor de X representaría el desplazamiento máximo entre rebotes sucesivos.

En este programa, se representa los estados finales (eje vertical) del sistema en función del parámetro A (eje horizontal). Así tenemos una visión global del comportamiento del sistema.

Observamos, como hasta un cierto valor de A, A₀, el sistema tiende hacia un solo estado, hasta cierto valor A₁, el sistema oscila entre dos estados, hasta cierto valor A₂, el sistema oscila entre cuatro estados, y así sucesivamente. La razón

Como puede comprobarse, se observan comportamientos regulares (independientes del valor inicial), dentro del comportamiento caótico (A>A_c), como el que corresponde a la pequeña región en torno a A=0.935. Se denominan a estas regiones islas de estabilidad.

Dependencia del estado inicial

Examinemos con más detalle la ecuación logística, observando la evolución de los distintos estados X con el tiempo, introduciendo en los controles de edición el valor del parámetro A, y dos valores iniciales distintos, en color rojo se representarán los estados X, correspondientes al primer valor inicial, y en color azul los estados X correspondientes al segundo valor inicial.

Para la mayor parte de los valores de A, los sucesivos estados X, no dependen del valor inicial, así que solamente veremos puntos azules. Los puntos azules se trazan después y se superponen sobre los puntos rojos. A partir de cierto valor de A crítico A_c=0.892486, los sucesivos estados X dependen del valor inicial de partida, separándose claramente los puntos rojos de los azules.

Con este pequeño programa podemos determinar los valores límite de A, A₀ cuando el sistema tiende hacia un solo estado,  A₁ cuando el sistema oscila entre dos estados,  A₂, cuando el sistema oscila entre cuatro estados, y así sucesivamente.