Oscilaciones

Movimiento Armónico
Simple

M.A.S y movimiento
circular uniforme

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y distinta
frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de direcciones
perpendiculares

Medida del desfase
y  la frecuencia

Oscilaciones libres
  y amortiguadas

Oscilaciones forzadas

El oscilador caótico

Osciladores acoplados

Modos normales
de vibración

De las oscilaciones
a las ondas

Oscilaciones amortiguadas

Vamos a estudiar las oscilaciones libres, amortiguadas y forzadas tomando como modelo una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k.

Oscilaciones libres

Cuando la partícula está desplazada x de la posición de equilibrio, actúa sobre ella una fuerza elástica que es proporcional a x, y de sentido contrario, tal como se muestra en la figura.

La ecuación del movimiento se escribe

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, podemos expresar la ecuación del movimiento como ecuación diferencial de segundo orden.

w₀ se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico.

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de M.A.S.

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidraúlicos, etc.

La característica esencial de una oscilación libre es que la amplitud se mantiene constante, y por tanto, la energía total se mantiene constante. En el espacio de las fases (v-x) el móvil describe una elipse.

El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento de un oscilador, y se representa el momento lineal (o la velocidad) en el eje vertical, y la posición del móvil en el eje horizontal.

Actividades

Se introduce la posición inicial y la velocidad inicial del móvil, y después se pulsa en el botón Empieza.

• Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
• La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
• La energía total del móvil en función del tiempo, gráfica E-t, en la parte inferior derecha.

Nota: la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ determinan la amplitud A y la fase inicial j   (véase Cinemática del M.A.S). Para t=0,

x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj

de donde se obtiene A y j a partir de x₀ y v₀

Oscilaciones amortiguadas

La experiencia nos muestra que la amplitud de un cuerpo vibrante tal como un resorte o un péndulo, decrece gradualmente hasta que se detiene.

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que además de la fuerza elástica F=-kx, actúa otra fuerza opuesta a la velocidad F_r=-lv, donde l es una constante que depende del sistema físico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en régimen laminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrario a ésta.

La ecuación del movimiento se escribe

Expresamos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial, teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, y la velocidad es la derivada primera de x.

La solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente expresión

La característica esencial de la oscilación amortiguada es que la amplitud de la oscilación disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energía del oscilador también disminuye. Estas pérdidas de energía son debidas al trabajo de la fuerza F_r de rozamiento viscoso opuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) vemos que el móvil describe una espiral que converge hacia el origen.

Si el amortiguamiento es grande, g  puede ser mayor que w₀, y w puede llegar a ser cero (oscilaciones críticas) o imaginario (oscilaciones sobreamortiguadas). En ambos casos, no hay oscilaciones y la partícula se aproxima gradualmente a la posición de equilibrio. La energía perdida por la partícula que experimenta una oscilación amortiguada es absorbida por el medio que la rodea.

Como aplicación de las oscilaciones amortiguadas se ha descrito un modelo para el coeficiente de restitución.

Actividades

Se introduce la posición inicial y la velocidad inicial del móvil, y la constante de amortiguamiento, después se pulsa el botón titulado Empieza.

Probar con los siguientes valores de la constante de amortiguamiento g : 5 (amortiguadas), 100 (críticas), 110 (sobreamortiguadas).

• Se observa la posición del móvil en función del tiempo en la parte izquierda de la ventana, gráfico x-t. El valor de la posición x del móvil se muestra en la esquina superior izquierda.
• La trayectoria del móvil en el espacio de las fases, gráfico v-x, en la parte superior derecha.
• La energía total del móvil en función del tiempo, gráfica E-t, en la parte inferior derecha.

Nota: la posición inicial x₀ y la velocidad inicial v₀ determinan la amplitud A y la fase inicial j . Para t=0,

x₀=A·senj
v₀=Aw·cosj-Ag·senj

de donde se obtiene A y j a partir de x₀   y v₀