Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5 t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
| intervalo | <v> (m/s) |
| 2 y 3 | 25 |
| 2 y 2.1 | 20.5 |
| 2 y 2.01 | 20.05 |
| 2 y 2.001 | 20.005 |
| 2 y 2.0001 | 20.0005 |
En el instante t=2 la velocidad es 20 m/s.
La velocidad media entre los instantes t y t+Dt es <v>=10t+5Dt
En el instante t la velocidad es v=10t m/s
La derivada de x respecto del tiempo es 10t m/s
Solución
 |
Se define velocidad media  |
En el instante t=2 s la posición del móvil es x=5 22+1=21 m
En el instante t'=3 s la posición del móvil es x'=5 32+1=46 m
El desplazamiento es Dx=x'-x=46-2 =25 m.
El intervalo de tiempo que emplea en desplazarse es Dt=3-2=1 s.
La velocidad media es <v>=25 m/s
En el cuadro siguiente se calcula la velocidad media en los intervalos indicados en el enunciado.
| t=2 | x=21 m | |||
| t' (s) | x' (m) | Dx=x'-x (m) | Dt=t'-t (s) | <v> (m/s) |
| 3 | 46 | 25 | 1 | 25 |
| 2.1 | 23.05 | 2.05 | 0.1 | 20.5 |
| 2.01 | 21.2005 | 0.2005 | 0.01 | 20.05 |
| 2.001 | 21.020005 | 0.020005 | 0.001 | 20.005 |
| 2.0001 | 21.00200005 | 0. 00200005 | 0.0001 | 20.0005 |
| . . |
||||
| 2 | 0 | 20 | ||
Observando las sucesiones de números en las columnas de la tabla, vemos que cuando t' tiende hacia 2, Dt tiende hacia cero, la velocidad media <v> tiende hacia 20.
Luego, la velocidad en el instante t=2 es 20 m/s.
El significado de la velocidad en un instante es el de una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
En vez de instantes concretos vamos a hallar la velocidad media entre los instantes t y t+Dt.
La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1
El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2
Dividiendo por el intervalo de tiempo Dt obtenemos la velocidad media en dicho intervalo <v>=10t+5Dt
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en el instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
