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Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5 t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

Movimiento rectilíneo.


Respuestas

intervalo <v> (m/s)
2 y 3 25
2 y 2.1 20.5
2 y 2.01 20.05
2 y 2.001 20.005
2 y 2.0001 20.0005

En el instante t=2 la velocidad es 20 m/s.

La velocidad media entre los instantes t y t+Dt es <v>=10t+5Dt

En el instante t la velocidad es v=10t m/s

La derivada de x respecto del tiempo es 10t m/s

Solución

Cine_01.gif (1373 bytes) Se define velocidad media

En el instante t=2 s la posición del móvil es x=5 22+1=21 m

En el instante t'=3 s la posición del móvil es x'=5 32+1=46 m

El desplazamiento es  Dx=x'-x=46-2 =25 m.

El intervalo de tiempo que emplea en desplazarse es Dt=3-2=1 s.

La velocidad media es <v>=25 m/s


En el cuadro siguiente se calcula la velocidad media en los intervalos indicados en el enunciado.

t=2 x=21 m
t' (s) x' (m) Dx=x'-x (m) Dt=t'-t (s) <v> (m/s)
3 46 25 1 25
2.1 23.05 2.05 0.1 20.5
2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05
2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005
2.0001 21.00200005 0. 00200005 0.0001 20.0005
.

.

2   0 20

Observando las sucesiones de números en las columnas de la tabla, vemos que cuando t' tiende hacia 2, Dt tiende hacia cero, la velocidad media <v> tiende hacia 20.

Luego, la velocidad en el instante t=2 es 20 m/s.

El significado de la velocidad en un instante es el de una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.


En vez de instantes concretos vamos a hallar la velocidad media entre los instantes t y t+Dt.

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1

La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1

El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2

Dividiendo por el intervalo de tiempo Dt obtenemos la velocidad media en dicho intervalo <v>=10t+5Dt

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

 


La velocidad en el instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.