Movimiento vertical de una esfera en un fluido viscoso

Dinámica

Fuerzas o masas
variables

Movimiento de una esfera
  en un fluido viscoso

Medida de la viscosidad
de un fluido

Descenso de un
paracaidista

Movimiento de un sistema
de masa variable

Movimiento de un cohete
en el espacio exterior

Cohete de dos etapas

Actividades

Descripción

La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje, al estar el cuerpo sumergido en un fluido, y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene laminar).
El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad. La masa es el producto de la densidad del material por el volumen de la esfera

De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresión se denomina ley de Stokes donde h es la viscosidad del fluido. La ecuación del movimiento será, por tanto,

La velocidad límite se alcanza, cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre la esfera es cero.

De aquí despejamos la velocidad límite

Podemos obtener, mediante una integración, la velocidad de la esfera en función del tiempo. Transformamos la ecuación del movimiento en esta otra

donde F es la diferencia entre el peso y el empuje

Obtenemos

Esta ecuación nos dice que se alcanza la velocidad límite v_l después de un tiempo teóricamente infinito. Si representamos v en función del tiempo t la gráfica tienen una asíntota horizontal en v=v_l.

Dada la velocidad en función del tiempo, podemos obtener mediante otra integración la posición x del móvil en función del tiempo t. Suponemos que la esfera parte del origen en el instante inicial.

se obtiene

Dado que la exponencial tiende a cero rápidamente a medida que transcurre el tiempo, vemos que el desplazamiento x del móvil es proporcional al tiempo t.

Las diferencias entre el movimiento de un cuerpo en caída libre y cuando cae en el seno de un fluido viscoso se pueden resumir en el siguiente cuadro

Actividades

Determinar la dependencia de la velocidad límite con el radio de la esfera, con la densidad del material, con la densidad y viscosidad del fluido:

1. Elegir esferas de distinto radio, del mismo material y que se muevan en el mismo fluido.
   
2. Elegir esferas del mismo radio pero de distinto material, y que se muevan en el mismo fluido.
   
3. Cambiar el fluido en el que se mueven las esferas, manteniendo sus dimensiones y su material constitutivo.

El círculo de color rojo representa la esfera que cae en el seno de un fluido viscoso. Al lado se representa las fuerzas sobre la esfera. En color rojo la fuerza constante resultante de restar el peso del empuje del fluido, en color azul la fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Cuando ambas flechas son iguales, la velocidad de la esfera es constante e igual a la velocidad límite.

En el programa, se representa de forma gráfica y animada el movimiento de la esfera hasta el momento en el que alcanza el 99.5% del valor de su velocidad límite.

Instrucciones para el manejo del programa

Introducir

• La densidad y el radio de la esfera
• La densidad y la viscosidad del fluido

Pulsar en el botón titulado Empieza

Pulsar en el botón titulado Pausa para parar momentáneamente la animación. Volver a pulsar en el mismo botón titulado ahora Continua para proseguir el movimiento.

Pulsar varias veces en el botón titulado Paso para observar el movimiento paso a paso.