Mecánica Cuántica

La ecuación de
Schrödinger  

Escalón de potencial
E>E0

Escalón de potencial
E<E0

Modelo de núcleo
radioactivo

Desintegración
radioactiva

Caja de potencial

Pozo de potencial

Átomo, molécula... 
sólido lineal

Potencial periódico

Defectos puntuales

Barreras de potencial

El oscilador armónico
cuántico

Modelo de Kronig-Penney

Actividades

El potencial periódico

Examinemos en esta sección el potencial periódico, formado por infinitos pozos de potencial iguales. El efecto de la red lineal será el de cambiar la función de onda de la partícula libre de modo que en lugar de tener una amplitud constante, esta función de onda tenga una amplitud variable u(x).

Como el potencial es periódico con periodo l=a+b, suma de la anchura a del pozo y de la separación b entre pozos, se deberá cumplir que

Ambas expresiones constituyen el teorema de Bloch. Podemos obtener la imagen de dichas funciones de onda considerando que u(x) se asemeja a la función de onda de los átomos aislados (de un pozo de potencial) y reemplazando exp(ikx) por las funciones de onda de una partícula libre en una caja de potencial. Esto es lo que hemos observado al visualizar las funciones de onda de los primeros niveles de energía de un sistema de pozos de potencial.

Consideremos el movimiento de una partícula en un potencial periódico de periodo l=a+b, formado por un pozo de potencial de anchura a y profundidad E₀, y una barrera de potencial de anchura b. En la figura muestra tres regiones en las que vamos a obtener la solución de la ecuación de Schrödinger.

• En la primera

• En la segunda región

• En la tercera región, la solución se puede obtener a partir de la primera aplicando la condición de periodicidad.

El punto x en la región 3 se corresponde con el punto x-l en la región 1, de modo que u(x)=u(x-l).

Despejando u(x) e introduciendo dicha expresión en la función de onda en la tercera región.

Escribiremos ahora las condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada primera en los puntos x=0, y x=a.

• en x=0

Se obtiene

• en x=a

Tenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, el determinante de los coeficientes debe ser cero. Para el caso en el que E<E₀, que es el que estudiamos en el applet, k₁ es una cantidad imaginaria, llamemos k₁=ik₃.

Ecuación que nos da la relación entre la energía E y el número de onda k, y que representaremos en la ventana del applet. Ya que el módulo del coseno no puede ser mayor que la unidad, obtenemos así la condición impuesta a k₃ y a k₂ y por tanto a la energía E.

Esta condición define las bandas de energía permitidas.

Actividades

• En el applet, se define el sistema infinito de pozos de potencial introduciendo la anchura y la separación entre pozos. La profundidad del pozo de potencial está fijado en el programa en un valor de 5 unidades.

• Se pulsa el botón titulado Bandas de energía y se calculan y representan las bandas de energía, sobre la función energía potencial.

• Si se pulsa en el botón titulado Zonas de Brillouin se representa la energía (eje vertical), en función del número de onda k (eje horizontal).

Puede observarse que para números de onda k múltiplos de p/L, donde L=a+b es el periodo de la red lineal, la energía presenta una discontinuidad. Estos valores representan fronteras entre zonas de Brillouin contiguas. Los intervalos de existencia de cada una de las zonas medidas en el eje vertical representan las bandas de energía, que se muestran como rectángulos de color azul en la parte derecha de la ventana.

Comparar esta representación con la obtenida al estudiar la constitución efectiva de las bandas de energía a medida que se van añadiendo "átomos" a la red lineal.