Fluidos

Dinámica de fluidos

Vaciado de un depósito

Vasos comunicantes

Oscilaciones en vasos
  comunicantes

Fluidos reales
Ley de Poiseuille

Descarga de un 
tubo-capilar

Carga y descarga de
un tubo-capilar

Analogía de las series de
desintegración radioactiva

Oscilaciones armónicas en dos vasos iguales

Actividades

Vamos a describir las oscilaciones de un fluido ideal contenido en dos vasos comunicantes cuyas alturas iniciales difieren de la de equilibrio.

Oscilaciones en dos vasos comunicantes

Sean h₀₁ y h₀₂ las alturas iniciales del fluido en cada uno de los recipientes, y S₁ y S₂ sus secciones respectivas, la altura de equilibrio h se obtiene de la relación

Cuando el fluido en el primer recipiente se desplaza x₁ de la posición de equilibrio, en el segundo recipiente se desplazará x₂ de la posición de equilibrio, la relación entre estos desplazamientos será

S₁x₁=S₂x₂ (1)

Ecuación de continuidad

Si v₁ es la velocidad del fluido en el primer recipiente, v₂ en el segundo y u en el tubo que comunica ambos recipientes se cumplirá por la ecuación de continuidad que

S₁v₁=S₂v₂=Su (2)

Balance energético

Las masas de fluido que hay en cada uno de los recipientes y en el tubo de comunicación en un instante t determinado, serán respectivamente:

• Masa en el primer recipiente: m₁=r S₁(h-x₁)
• Masa en el segundo recipiente: m₂=r S₂(h+x₂)
• Masa en el tubo de comunicación: m=r Sd

Donde S es la sección del tubo de comunicación y d su longitud

Cambio de energía cinética entre el instante t y el instante t+dt.

Variación de energía potencial: una masa dm pasa desde la posición inicial h+x₂ a la posición final h-x₁.

donde dm=-r gS₁dx₁, ya que x₁ disminuye

Principio de conservación de la energía D E_k=D E_p

A partir de esta ecuación y de las relaciones (1) y (2), escribimos v₁ en función de x₁.

Podemos integrar esta ecuación con las siguientes condiciones iniciales v₁=0, cuando x₁=h-h₁₀. h es la altura de equilibrio, y h₁₀ es la altura inicial en el primer recipiente.

Oscilaciones armónicas en dos vasos iguales

El término b es nulo cuando S₁ es igual a S₂. La ecuación diferencial se convierte en

dividiendo ambos miembros por dt, llegamos a la ecuación diferencial de un MAS

cuyo periodo es

Energías cinética y potencial

La energía potencial del fluido contenido en ambos recipientes (la energía potencial del fluido contenido en el tubo de comunicación no cambia) es

Donde m₁ es la masa de fluido en el primer recipiente y m₂ en el segundo. El centro de masa se encuentra a la mitad de la altura.

A partir de la relación (1), y escribiendo la masa como producto de la densidad del fluido r por el volumen que la contiene, expresamos E_p en función de x₁ y h.

La energía cinética es la suma de la energía cinética del fluido en el primer recipiente, en el segundo y en el tubo de comunicación.

A partir de las relaciones (1) y (2), y escribiendo la masa como producto de la densidad del fluido r por el volumen que la contiene, expresamos E_k en función de x₁ y h y v₁

Cuando S₁ es igual a S₂ el término en x₁ desaparece.

Si la ecuación del MAS es x₁=A·sen(w t), v₁=Aw cos(w t), sumando los valores de la energía cinética y potencial se tiene que obtener un valor constante de la energía total independiente del tiempo t. Por tanto, los coeficientes del sen² y del cos² tienen que tener el mismo valor. De ahí, obtenemos el valor del cuadrado de la frecuencia angular w .

Cuando los depósitos tienen la misma sección hemos obtenido por dos procedimientos distintos la frecuencia angular y el periodo del MAS que describe

Resumen

En general, cuando el nivel de fluido ideal contenido en dos vasos comunicantes se desvía de la posición de equilibrio, el sistema oscila, pero no describe un MAS.

Cuando las secciones de ambos recipientes son iguales o bien, cuando el término b es despreciable frente a a, el sistema describe un MAS cuyo periodo hemos calculado en la sección precedente.

Actividades

Para simular el comportamiento de este sistema oscilante, se resuelve la ecuación diferencial de segundo orden mediante el procedimiento numérico de Runge-Kutta.

con las condiciones iniciales v₁=0, cuando x₁=h-h₁₀. h es la altura de equilibrio, y h₁₀ es la altura inicial en el primer recipiente.

Ejemplo

Se arrastra con el puntero del ratón las flechas de color rojo y de color azul, para establecer las alturas iniciales h₀₁ y h₀₂ del fluido en ambos recipientes. La altura de fluido h en equilibrio se obtiene

Se introducen los valores de:

• el radio r₁ del recipiente izquierdo
• el radio r₂ del recipiente derecho
• el radio r del tubo que comunica ambos recipientes
• la longitud d de dicho tubo se ha fijado en 10 cm.

Las secciones de los recipientes y del tubo valdrán, respectivamente

Sean las alturas iniciales h₀₁=20 cm y h₀₂=30 cm

Introducimos en los controles de edición estos datos, r₁=5 cm, r₂=5 cm y r=0.2 cm. Pulsamos el botón titulado Nuevo, y a continuación, pulsamos el botón titulado Empieza.

Al ser las secciones iguales, la altura de equilibrio es la media de las alturas iniciales h=25 cm=0.25 m. El valor del coeficiente a=31.5. El periodo sale P=11.26 s.

Cuando se cambia los parámetros del sistema (radios de los recipientes o del tubo de comunicación) se pulsa el botón titulado Nuevo.

Para observar las oscilaciones del fluido se pulsa el botón titulado Empieza.