Fluidos

Dinámica de fluidos

Vaciado de un depósito

Vasos comunicantes

Oscilaciones en vasos
comunicantes

Fluidos reales
Ley de Poiseuille

Descarga de un 
tubo-capilar

Carga y descarga de
un tubo-capilar

Analogía de las series de
desintegración radioactiva

El frasco de Mariotte

Vaciado de un depósito

Actividades

Teorema de Torricelli

Un depósito cilíndrico, de sección S₁ tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S₂ mucho más pequeña que S₁

Aplicamos el teorema de Bernouilli suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1@ 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2. Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0. Finalmente, la diferencia de alturas y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido La ecuación de Bernoulli Con los datos del problema se escribirá de una forma más simple Esta es la misma velocidad que alcanza un objeto que se deja caer desde una altura h. Este resultado se conoce como ley de Torricelli.

El frasco de Mariotte

De acuerdo con el teorema de Torricelli, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en su fondo es la misma que la que adquiere un cuerpo que cayese libremente en el vacío desde una altura h, siendo h la altura de la columna de fluido

Si S es la sección del orificio, el gasto Sv, o volumen de fluido que sale por el orificio en la unidad de tiempo no es constante. Si queremos producir un gasto constante podemos emplear el denominado frasco de Mariotte.

Consiste en un frasco lleno de fluido hasta una altura h0, que está cerrado por un tapón atravesado por un tubo cuyo extremo inferior está sumergido en el líquido. El fluido sale del frasco por un orificio practicado en el fondo del recipiente. En el extremo B la presión es la atmosférica ya que está entrando aire por el tubo, a medida que sale el líquido por el orificio. Si h es la distancia entre el extremo del tubo y el orificio, la velocidad de salida del fluido corresponderá no a la altura h0 desde el orificio a la superficie libre de fluido en el frasco, sino a la altura h al extremo del tubo. Dado que h permanece constante en tanto que el nivel de líquido esté por encima de B, la velocidad del fluido y por tanto, el gasto se mantendrán constantes. Cuando la altura de fluido en el frasco h0 es menor que h, la velocidad de salida v del fluido deja de ser constante La velocidad de salida v puede modificarse introduciendo más o menos el tubo AB en frasco.

Vaciado de un depósito

En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S₁ es despreciable v₁@ 0 comparada con la velocidad del fluido v₂ en la sección menor S₂.

El problema no es muy complicado de resolver si se supone que v₁ no es despreciable frente a v₂.

La ecuación de continuidad se escribe

y la ecuación de Bernoulli

De estas dos ecuaciones obtenemos v₁ y v₂

Si S₁>>S₂ obtenemos el resultado de Torricelli

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S₂v₂, y en el tiempo dt será S₂v₂dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito

-S₁dh= S₂v₂dt

Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.

Tomando h=0, obtenemos el tiempo que tarda el depósito en vaciarse por completo.

Si S₁>>S₂, se puede despreciar la unidad

Actividades

Para analizar el problema del vaciado de un depósito, introducimos los datos relativos a:

• el radio del depósito
• el radio del orificio situado en el fondo
• la altura inicial de fluido.

Pulsando en el botón Empieza, el fluido comienza a salir por el orificio, a la vez que se representa gráficamente la altura de la columna de fluido en función del tiempo en la parte derecha del applet.

Ejemplo. Introducimos los siguientes datos:

• Radio del depósito 10 cm, luego S₁=p (0.1)² m²
• Radio del orificio 0.8 cm, luego S₂=p (0.08)² m²
• Altura inicial 45 cm, H=0.45 m

Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos 47.3 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito