El péndulo balístico (II)

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Sólido rígido

Conservación del
momento angular
Discos que se
acoplan
marca.gif (847 bytes)Péndulo balístico (II)
Caja que puede
volcar
Choque inelástico
bala-disco en rotación
Conservación del 
momento lineal y
del momento angular
en las colisiones
Fundamentos físicos

Movimiento después del choque

java.gif (886 bytes)Actividades

 

El en capítulo de Dinámica de la partícula hemos examinado el péndulo balístico, consistente en una bala de masa m y velocidad v que choca contra  un bloque de masa M que cuelga del extremo de una cuerda. Para resolver el problema podíamos aplicar  indistintamente el principio de conservación del momento lineal o del momento angular.

En esta segunda versión, el bloque se sustituye por un cilindro de masa M y de radio r y la cuerda por una varilla rígida de longitud d y de masa despreciable.

El aspecto didáctico más importante de este problema, es la de mostrar la diferencia entre las dos versiones del péndulo balístico: mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria, un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula.

 

Fundamentos físicos

En esta versión solamente es aplicable el principio de conservación del momento angular, ya que el sistema no es aislado sin embargo, el momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo.

balistico.gif (2781 bytes) Momento angular antes del choque

Es el momento angular de la partícula respecto de O.

L=r´ mv

El módulo del momento angular es L=mv·d

Momento angular después del choque

Es el momento angular de un sólido rígido formado por la varilla, el cilindro y la bala empotrada, en rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del applet que pasa por O.

L=I0w

El momento de inercia I0 se compone de los siguientes términos:

  • Se aplica el teorema de Steiner para obtener el momento de inercia del cilindro de masa M y radio r cuyo eje dista d de O
  • Momento de inercia de una masa puntual m que dista d del eje de rotación

Principio de conservación del momento angular

Despejamos la velocidad angular w, justamente después del choque.

Balance energético

La energía perdida en la colisión es la diferencia entre estas dos energías. En la parte izquierda del applet, podemos observar que la mayor parte de la energía cinética de la bala se convierte en energía de deformación cuando la bala se incrusta con el cilindro, y solamente una pequeña parte de la energía inicial se convierte en energía cinética de rotación del sistema formado por la varilla, el cilindro y la bala.

En un choque inelástico no se puede aplicar el principio de conservación de la energía.

 

Movimiento después del choque

balistico1.gif (1814 bytes) Dinámica de rotación

Después del choque tenemos un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo que pasa por O.

La ecuación de la dinámica de rotación es M=I0·a

M es el momento del peso que actúa en el centro de masa del sólido. Como la varilla tiene masa despreciable y la bala se aloja en el centro del cilindro, el centro de masa del sistema coincide con el centro del cilindro, a una distancia d del eje de rotación.

-mgd·senq =I0·a

Como la aceleración angular no es constante podemos obtener la posición angular q en función del tiempo, integrando la ecuación diferencial de segundo orden. Sin embargo, es mucho más fácil aplicar el principio de conservación de la energía para obtener información sobre el comportamiento del sólido en rotación.

Principio de conservación de la energía

balistico2.gif (2011 bytes) La energía cinética después del choque se convierte en energía potencial

Conocido el ángulo q de máxima desviación del péndulo balístico podemos recorrer el camino inverso y calcular la velocidad de la bala antes del choque.

Puede ocurrir que la velocidad de la bala sea tan grande que el péndulo empiece a dar vueltas. Para que esto ocurra, la energía del péndulo después del choque tiene que ser mayor que la energía potencial del cilindro y de la bala correspondiente a una altura 2d.

Mientras que una masa puntual en movimiento circular no puede tener una velocidad nula en el punto más alto de su trayectoria. Un sólido rígido en rotación puede tener una velocidad angular nula. Esta es la diferencia esencial entre las dos versiones del péndulo balístico.

 

Actividades

Introducimos los siguientes datos en los respectivos controles de edición

  • Masa de la bala (kg)
  • Velocidad de la bala (m/s)
  • Masa del cilindro (kg)
  • Radio del cilindro (cm)
  • La longitud de la varilla está fijada por el programa 0.5 m

Se pulsa el botón Empieza y se observa sobre la escala angular graduada el máximo desplazamiento del péndulo. Su valor numérico se muestra en la esquina superior izquierda del applet.

Comparar las dos versiones del péndulo balístico introduciendo los mismos valores en ambos programas interactivos. Comprobar el efecto del radio del cilindro manteniendo constantes los otros datos.

 

Ejemplo 1º

  • Masa de la bala 0.2 kg
  • Velocidad de la bala 10 m/s
  • Masa del cilindro 1.5 kg
  • Radio del cilindro 3 cm=0.03 m
  1. Choque. Principio de conservación del momento angular

Momento de inercia I0= 0.426 kgm2

Momento angular inicial 0.2·10·0.5=1 kg·m2/s
Momento angular final I0·w

Conservación del momento angular w =2.35 rad/s

  1. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía

La energía cinética después del choque se transforma en energía potencial, cuando se alcanza la máxima desviación del péndulo

Una vez calculado h se obtiene el ángulo de desviación q =30.8º

Ejemplo 2º

Con estos datos, podemos preguntarnos ¿Cuál será la velocidad que deberá llevar la bala para que el péndulo se desplace 180º, se ponga en posición vertical?. Resolvemos el problema en sentido inverso

  1. Movimiento después del choque. Principio de conservación de la energía

La energía potencial de la bala y cilindro en dicha posición es 1.7·9.8·2·0.5=16.66 J

La energía cinética después del choque será

  1. Choque. Principio de conservación del momento angular

0.2·v·0.5=I0·w

Despejando v=37.66 m/s

Introducimos este valor en el control de edición titulado velocidad bala y pulsamos el botón titulado Empieza, observamos que el péndulo llega a la posición vertical sin sobrepasarla.

Incrementamos en una centésima la velocidad de la bala v=37.67 m/s y vemos que el péndulo empieza a dar vueltas.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.