El péndulo de Wilberforce

Sólido rígido

Dinámica de rotación

Momento de una fuerza

Medida del módulo
de elasticidad

Medida del módulo
de cizallamiento

Ecuación de la
dinámica de rotación

Dinámica de rotación
y balance energético

Péndulo de torsión

Péndulo compuesto

Péndulo de Wilberforce

Actividades

El péndulo de Wilberforce es un conocido dispositivo para verificar la ley de la conservación de la energía. Se puede además, mostrar las oscilaciones acopladas de los modos longitudinales y torsionales de un cuerpo que cuelga de un muelle en forma de hélice.

Fundamentos físicos

Sea k_x la constante elástica del muelle en las oscilaciones longitudinales y k_q a constante en las oscilaciones torsionales. Sea x el desplazamiento vertical del muelle de la posición de equilibrio, y q el ángulo de rotación alrededor del eje vertical.

Si el acoplamiento entre los dos modos de oscilación está descrito por una función lineal de la forma k_axq /2, donde k_a se denomina constante de acoplamiento. Las ecuaciones del movimiento del péndulo serán

w_x es la frecuencia angular de las oscilaciones longitudinales, y w_q es la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales, e I es el momento de inercia respecto del eje de rotación.

Del muelle cuelga un cuerpo de forma cilíndrica y dos esferas iguales situadas a ambos lados del cilindro, cuya distancia al eje de rotación se puede cambiar accionado los tornillos de sujeción.

El momento de inercia I respecto del eje de rotación se puede variar, moviendo dos pequeñas esferas de igual masa m situadas a la misma distancia d del eje de rotación. El momento de inercia del sistema será igual al momento de inercia del cuerpo cilíndrico más el momento de inercia de las dos esferas.

Aplicando el teorema de Steiner podemos expresar el momento de inercia de la esfera como suma de dos términos.

I=I_cilindro+2·I_esferas=I_cilindro+2·(2mr²/5+md²)=I₀+2·md².

El momento de inercia total del sistema se compone de dos términos uno que no cambia I₀ y otro que cambia al modificar la distancia d entre el centro de las esferas y el eje del cilindro.

Se puede demostrar que los modos normales de vibración de este sistema de dos osciladores acoplados son

Si modificamos el momento de inercia I, cambiando la distancia d de las esferas al eje de rotación podemos conseguir que la frecuencia angular de las oscilaciones longitudinales w_x y la frecuencia angular de las oscilaciones torsionales w_q sean iguales w =w_x=w_q

Entonces los modos normales de vibración tienen una expresión mucho más simple

La forma general del ángulo de rotación en función del tiempo, será la composición de dos MAS de la misma dirección y de distinta frecuencia .

En el applet que simula el péndulo de Wilberforce, se resuelve numéricamente el sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, que describen respectivamente, las oscilaciones longitudinales y torsionales del muelle y a las que se añade un término que da cuenta del acoplamiento entre ambas modos. El procedimiento numérico empleado es el de Runge-Kutta.

Dada la dificultad de visualizar el péndulo en el espacio tridimensional, se representa el péndulo en dos planos, vertical para mostrar las oscilaciones longitudinales y horizontal para mostrar las oscilaciones transversales. Se puede parar en cualquier momento el movimiento, realizar medidas del desplazamiento lineal y angular en las escalas dispuestas al efecto.

Se puede observar los cambios energéticos en el diagrama en forma de tarta a la derecha del applet. En distintos colores se representan las energías potenciales elásticas y las energías cinéticas correspondientes a ambos modos de oscilación.

Energías correspondientes a las oscilaciones longitudinales

• Energía potencial
• Energía cinética

Energías correspondientes a las oscilaciones torsionales

• Energía potencial
• Energía cinética

Actividades

Se introduce el valor de la constante de acoplamiento k_a.

Como en la experiencia real se puede variar ligeramente el momento de inercia, en la simulación se hace arrastrando con el puntero del ratón dos pequeños círculos situados a ambos lados del bloque que cuelga del muelle, hacia el centro para disminuir el momento de inercia, hacia afuera para aumentarlo.

Las condiciones iniciales no se pueden modificar y corresponden a un desplazamiento del muelle de su posición de equilibrio.

El applet permite ver el movimiento del péndulo, u observar la representación gráfica de:

• El desplazamiento x en función del tiempo, activando la casilla traslación y pulsando el botón titulado Gráfica
• El desplazamiento angular q en función del tiempo, activando la casilla rotación y pulsando el botón titulado Gráfica

También se pueden ver ambos desplazamientos en la misma gráfica.

Ejemplo:

La frecuencia w_x de las oscilaciones longitudinales es fija

• Masa total m=0.43 kg
• Constante elástica k_x =16.98 N/m

Lo que da una frecuencia angular de

La frecuencia angular w_q de las oscilaciones torsionales se puede cambiar modificando el momento de inercia I es decir, la distancia de las pequeñas esferas al eje de rotación.

• Constante elástica k_q =5.74·10^-3 Nm
• Momento de inercia I variable

Con el puntero del ratón modificamos el momento de inercia hasta lograr que ambas frecuencias sean iguales. Los valores de dichas frecuencias aparecen en la parte inferior del applet la frecuencia fija w_x, y en la parte superior del applet w_q .

Para comenzar la simulación se pulsa el botón titulado Empieza.

Se puede para en cualquier momento la simulación pulsando el botón titulado Pausa. Se reanuda pulsando el mismo botón titulado ahora Continua. Se puede seguir la evolución del sistema físico paso a paso pulsando repetidamente el botón titulado Paso.

Para parar el movimiento del péndulo de Wilberforce y comenzar una nueva experiencia se pulsa el botón titulado Inicio y a continuación, el botón Empieza.