Dinámica de rotación y balance energético

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Sólido rígido

Dinámica de rotación
Momento de una fuerza
Medida del módulo
de elasticidad
Medida del módulo
de cizallamiento
Ecuación de la
dinámica de rotación
marca.gif (847 bytes)Dinámica de rotación
 y balance energético
Péndulo de torsión
Péndulo compuesto
Péndulo de Wilberforce
Primera experiencia

Segunda experiencia

Tercera experiencia

java.gif (886 bytes) Actividades

 

En el aula y en el laboratorio se propone a los estudiantes resolver un conjunto de problemas de dinámica del sólido rígido para practicar las ecuaciones de la dinámica de rotación y el principio de conservación de la energía.

Se usa un dispositivo similar a una rueda de bicicleta que puede girar alrededor de un eje fijo. Se enrollan cuerdas de las que penden pesas tal como se muestra en la figura.

din_solido1.gif (3221 bytes)

Se mide el tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo. A partir de este dato, de las masas de las pesas, y de los radios interior y exterior de la rueda, se calcula el momento de inercia por dos procedimientos

  • Aplicando las ecuaciones de la dinámica
  • Aplicando el principio de conservación de la energía

Describiremos a continuación, cada una de los tres experiencias desde el más sencilla a la más complicada

 

Primera experiencia

  • Método: conservación de la energía

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación de la energía.

rotaci1.gif (2555 bytes)
  • La pesa de masa m desciende una altura h.
  • La pesa de masa m incrementa su velocidad en v
  • La rueda gira con velocidad angular w

La energía potencial disminuye en mgh, su energía cinética se incrementa en mv2/2, y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su energía cinética se incrementa en Iw 2/2.

La ecuación del balance energético es

La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.

La velocidad angular w está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la rueda de radio r (siendo r el radio interior de la rueda). Véase la relación entre magnitudes lineales y angulares.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h  
Tiempo t  
Velocidad v  
Radio r  
Velocidad angular w  
Masa de la pesa m  
Momento de inercia I  

 

  • Método: dinámica

En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.

rotaci11.gif (1572 bytes)
  • La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es

Tr=Ia

  • La ecuación de la dinámica de traslación del bloque es

mg-T=ma

  • La relación entre la aceleración angular a del disco y la aceleración a de la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades

a=a r

Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración angular a del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Altura h  
Tiempo t  
Aceleración a  
Radio r  
Aceleración angular a  
Masa de la pesa m  
Tensión de la cuerda T  
Momento de inercia I  

Ejemplo:

Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:

  • Masa de la primera pesa cero (m1=0),
  • Masa de la segunda pesa m2=200 g,
  • Radio interior r=30 cm.

Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.

Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando en el botón titulado Resultado.

 

Segunda experiencia

  • Método: conservación de la energía

Comparando la situación inicial y la final apreciamos de un vistazo las variaciones de energía que han experimentado los cuerpos que intervienen.

rotaci2.gif (2956 bytes)
  • La pesa m2 desciende una altura h.
  • La pesa m1 asciende la misma altura h.
  • La pesa m1 aumenta en v su velocidad.
  • Lo mismo le ocurre a la pesa m2
  • La rueda gira con velocidad angular w .

Se formula el principio de conservación de la energía

Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular w de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h  
Tiempo t  
Velocidad v  
Radio R  
Velocidad angular w  
Masa de la pesa m1  
Masa de la pesa m2  
Momento de inercia I  

 

  • Método: Dinámica

En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

rotaci21.gif (2091 bytes) m2g-T2=m2a

T1-m1g=m1a

T2R-T1R=Ia

a=a R

Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular a del disco, las tensiones T1 y T2 de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

Altura h  
Tiempo t  
Aceleración a  
Radio R  
Aceleración angular a  
Masa de la pesa m1  
Masa de la pesa m2  
Tensión de la cuerda T1  
Tensión de la cuerda T2  
Momento de inercia I  

Ejemplo:

Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:

  • Masa de la primera pesa (m1=100 g)
  • Masa de la segunda pesa m2=200 g
  • Radio 50 cm.

Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.

Calcular el momento de inercia y compararlo con la respuesta dada por el programa que se obtiene pulsando en el botón titulado Resultado.

 

Tercera experiencia

  • Método: conservación de la energía

Comparando el estado inicial y final observamos que

rotaci3.gif (3185 bytes)
  • La pesa m1 desciende una altura h1
  • La pesa h2 asciende una altura h2
  • La pesa m1 incrementa su velocidad en v1
  • La pesa m2 incrementa su velocidad en v2
  • La rueda está girando con velocidad w

Formulamos el principio de conservación de la energía

Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre v1 y v2. Recordaremos que las magnitudes angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.

  • v1=w r1
  • v2=w r2
  • h1=q r1
  • h2=q r2

w es la velocidad angular de la rueda y q es el ángulo girado en el tiempo t.

Dados los datos de h1, la altura que cae la masa m1 y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas de los radios interior r2 y exterior r1 de la rueda podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h1  
Radio r1  
Radio r2  
Altura h2  
Tiempo t  
Velocidad v1  
Velocidad angular w  
Velocidad v2  
Masa de la pesa m1  
Masa de la pesa m2  
Momento de inercia I  

 

  • Método: dinámica

En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

rotaci31.gif (2061 bytes) m1g-T1=m1a1

T2-m2g=m2a2

T1r1-T2r2=Ia

a1=a r1

a2=a r2

Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa m1 y la altura h1 desde la que cae, se determina la aceleración a1. Con los datos de los radios r1 y r2, se determina a y a2. A continuación T1, T2 y finalmente I.

Completar la siguiente tabla  y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h1  
Altura h2  
Tiempo t  
Aceleración a1  
Radio r1  
Radio r2  
Aceleración angular a  
Aceleración a2  
Masa de la pesa m1  
Masa de la pesa m2  
Tensión de la cuerda T1  
Tensión de la cuerda T2  
Momento de inercia I  

Ejemplo:

Introducir en el programa interactivo los siguientes datos:

  • Masa de la primera pesa (m1=150 g)
  • Masa de la segunda pesa m2=200 g.
  • Radio interior 30 cm

¿En qué sentido gira?

Se pulsa el botón titulado Empieza, y se mide el tiempo que tarda la pesa en recorrer una determinada altura medida por la regla adjunta. Utilizar los botones titulados Pausa y Paso para acercarse a la altura deseada.

Se pulsa el botón titulado Resultado para comparar el momento de inercia calculado con el generado por el programa interactivo.

 

Actividades

Probar los tres ejercicios con el programa interactivo que viene a continuación, y probar otras situaciones.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.