Dinámica celeste Leyes de Kepler El descubrimiento de la ley de la gravitación
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Fuerza de atracción entre los cuerpos | |||||||||||||||
Fuerza de atracción entre los cuerpos
La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión
G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos
Fuerza central y conservativaLa fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa. En este apartado estudiaremos la primera, dejando para más adelante la segunda, en el estudio del fenómeno de la dispersión, que tanta importancia tuvo en el descubrimiento de la estructura atómica. Una fuerza es central cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M=r´ F=0 y de la relación entre le momento de las fuerzas que actúa sobre una partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que
El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido. El momento angular L de una partícula es el vector producto vectorial L=r´mv, perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L. De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L Por otra parte, la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de las distancia r entre el móvil y el centro de fuerzas. Dicha fuerza es conservativa, y podemos hallar la función energía potencial Ep. 
El hecho de que la fuerza de atracción sea conservativa, implica que la energía total (cinética más potencial) de la partícula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.
Ecuación de la trayectoriaPara hallar la ecuación de la trayectoria expresamos el momento angular y la energía en coordenadas polares
Las ecuaciones de constancia del momento angular y de la energía constituyen un par de ecuaciones diferenciales en las que se puede eliminar el tiempo t. Para obtener la ecuación de la trayectoria r=r(q) se integra la ecuación diferencial
El resultado es una cónica cuyo parámetro e denominado excentricidad define el tipo de trayectoria
Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una energía total negativa (E<0). Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando q=0 y la posición más alejada r2 se obtiene cuando q=p. Es decir,
Los semiejes a y b de la elipse valen
PeriodoSe denomina periodo al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt el área de color rojo de forma triangular.
Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas polares
La primera integral es el área total de la elipse pab, que es igual a la suma de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo miembro es el periodo P del planeta, por tanto
Esta ecuación se puede transformar fácilmente para obtener la relación entre el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la elipse a, denominada tercera ley de Kepler.
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Fuerza central y
conservativa
