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DescripciónPara resolver el problema propuesto solamente es necesario hacer uso de las propiedades de la fuerza de atracción que hemos estudiado en otras secciones, y de la dinámica del movimiento circular uniforme. Órbita circular interior
Órbita semielíptica de transferencia Para calcular la velocidad que debe llevar la nave espacial en el punto A para que alcance la órbita exterior en B, basta aplicar las propiedades de la fuerza de atracción, se trata de una fuerza central y conservativa.
Por la propiedad de la fuerza central, el momento angular es constante y por tanto, tiene el mismo valor en A que en B
Por la propiedad de fuerza conservativa, la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, y en particular es la misma en A que en B.
Conocidos rA y rB podemos calcular en este par de ecuaciones las incógnitas v’A y vB.
La energía que hemos de suministrar al satélite en la posición A para que pase de la órbita circular a la trayectoria de transferencia es
Órbita circular exterior Una vez que la nave espacial llega al punto B, ha de cambiar su velocidad para seguir la trayectoria circular de radio rB. De nuevo aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos.
La energía que hemos de suministrar al satélite para que pase de la órbita de transferencia elíptica a la órbita circular de radio rB es
El semiperiodo o tiempo que tarda la nave espacial en pasar del punto A al punto B principio y fin de la trayectoria de transferencia, viene dado por.
Siendo a, el semieje mayor de la elipse.
Combustible gastado por la nave espacial Supondremos que la nave espacial cambia de velocidad en los puntos A y B mediante sendos impulsos, de duración muy corta, por lo que no tendremos en cuenta la acción del peso. Al estudiar la dinámica de un cohete, calculamos la cantidad de combustible m0-m que ha de gastar una nave espacial para incrementar su velocidad en v-v0
donde u es la velocidad de escape de los gases al quemarse el combustible, m0 es la masa inicial y m es la masa final. La variación total de velocidad que experimenta la nave espacial en los puntos A y B es la suma
A partir de la expresión anterior, podemos hallar la masa final m conocida la masa inicial m0, y la cantidad de combustible gastado.
EjemploPara situar satélites de comunicaciones en órbita geosíncrona a 35770 km de altura sobre la superficie terrestre se emplea un remolcador espacial. Sabiendo que inicialmente el remolcador describe inicialmente una órbita circular a 350 km de altura, determinar
Datos
En primer lugar, transformamos las alturas de las órbitas en distancias al centro de la Tierra, rA=(350+6370)*1000 m, rB=(35770+6370)*1000 m.
La variación de energía cinética DEA, es la energía que debemos suministrar al satélite para que pase de la órbita circular de baja altura a la órbita elíptica de transición, DEA=2.15 107 m J. La variación de energía cinética DEB, es la energía que debemos suministrar al satélite para que pase de la órbita elíptica de transición a la órbita circular de mayor altura, DEB=3.43 106 m J. La energía total que tenemos que suministrar al satélite será la suma de ambas cantidades DE=DEA+DEB =2.49 107 m J.
ActividadesSe introduce en los controles de edición titulados Altura (km) la altura en kilómetros de las órbitas circulares interior y exterior, respectivamente. La máxima altura que puede introducirse es de 36000 km Se pulsa el botón titulado Inicio, y podemos ver a la nave espacial, representada por un pequeño círculo de color negro, describiendo la órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad vA que tiene la nave en dicha órbita se muestra en el control de edición titulado Velocidad-A (m/s). Se introduce en dicho control de edición, la velocidad v’A que debe llevar la nave espacial en el punto A para que describa la órbita de transferencia, y se pulsa el botón titulado Lanzar. Si la nave espacial no llega a la órbita exterior o la sobrepasa, se debe de intentar de nuevo la operación. Cuando la nave espacial alcanza la órbita exterior en el punto B, se muestra la velocidad de la nave vB en dicha posición en el segundo control de edición titulado Velocidad-B (m/s). Ahora, hemos de introducir la velocidad v’B que debe tener la nave espacial para que describa la órbita circular exterior de radio rB, y después se pulsará el botón titulado Situar. Si no tiene éxito la operación, se traza la trayectoria elíptica seguida por la nave espacial. Si tiene éxito, se podrá ver a la nave espacial describiendo la órbita circular exterior. Nota: Al resolver numéricamente las distintas situaciones se debe tener en cuenta que en los controles de edición situados a la izquierda y titulados Altura (km) se introducen las alturas (no los radios) de las órbitas sobre la superficie de la Tierra. Por tanto, tenemos que sumarle a dichas cantidades el radio de la Tierra 6370 km y pasar el resultado a metros.
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Órbita de transferencia
(1)
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(3)
