Comentarios. Oscilaciones

Oscilaciones

Movimiento Armónico
Simple

M.A.S y movimiento
circular uniforme

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y distinta
frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de direcciones
perpendiculares

Medida del desfase
y  la frecuencia

Oscilaciones libres
y amortiguadas 

Oscilaciones forzadas

El oscilador caótico

Osciladores acoplados

Modos normales
de vibración

De las oscilaciones
a las ondas

Comentarios

Bibliografía

Es muy importante conocer el Movimiento Armónico Simple, ya que el teorema de Fourier establece que cualquier clase de movimiento periódico puede considerarse como la superposición de movimientos armónicos simples. Desde el punto de vista histórico, cabe señalar la importancia de las oscilaciones de un péndulo como instrumento de medida del tiempo, al ser el periodo independiente de la amplitud de la oscilación, y que este hecho fue conocido por Galileo.

Las oscilaciones pueden encuadrarse dentro de la dinámica de una partícula, pero hay muchos más sistemas oscilantes que una masa unida a un muelle elástico o un péndulo simple. Las oscilaciones tienen, por tanto, entidad propia como unidad aparte. La dificultad matemática del capítulo, se puede sobrellevar con la ayuda de los applets que hemos programado para que el estudiante obtenga un conocimiento intuitivo del tema, capte la esencia física de los distintos sistemas que se estudian.

El primer paso, consistirá en la definición de Movimiento Armónico Simple (MAS) y de sus características, estudiaremos la cinemática, la dinámica del M.A:S, y la energía del oscilador. La representación gráfica de las curvas de energía potencial, son muy instructivas para describir cualitativamente el movimiento de una partícula bajo la acción de fuerzas conservativas. La comparación de las curvas de energía potencial de una partícula que describe un M.A.S. y del potencial de Morse, nos permite diferenciar entre este movimiento y el de un oscilador en general.

La composición de oscilaciones puede hacerse de forma algebraica o mediante la relación existente entre un Movimiento Armónico Simple y un movimiento circular uniforme. Consideramos que la segunda alternativa es didácticamente más ventajosa que la primera.

1. Dado un M. A. S. se deberá representar correctamente el vector rotatorio cuya proyección sobre el eje X representa dicho M. A. S.
2. Se compondrán dos M.A.S. de la misma dirección y frecuencia, en especial los casos de dos M. A. S. en fase y en oposición de fase.
3. Del mismo modo, se pedirá componer dos M. A. S. de direcciones perpendiculares de la misma y de distinta frecuencia, representando la trayectoria del móvil en el plano XY.

Los estudiantes de los primeros cursos universitarios no conocen que es una ecuación diferencial y cómo obtener la solución de una ecuación diferencial lineal, por lo que el tratamiento de las oscilaciones amortiguadas y forzadas debe limitarse a presentar los resultados. Así, se estudia la oscilación de un sistema formado por una masa unida a un muelle elástico cuando está en un medio viscoso, se plantea la ecuación del movimiento y se escribe en forma de ecuación diferencial, se da la solución de dicha ecuación que el estudiante puede comprobar por simple sustitución. La característica esencial que define la oscilación amortiguada será el comportamiento de la amplitud con el tiempo.

De modo similar, se plantea el estudio de dicho oscilador cuando está bajo la influencia de una fuerza oscilante. Se proporciona la solución correspondiente al estado estacionario, que comprobará por simple sustitución en la ecuación diferencial que describe la oscilación forzada. La característica esencial será el comportamiento de la amplitud de la oscilación en función de la frecuencia de la fuerza oscilante.

Se han creado tres applets que estudian, respectivamente, el oscilador libre, amortiguado y forzado en tres dominios distintos de representación: la posición del móvil en función del tiempo, la energía en función del tiempo, y la trayectoria del móvil en el espacio de las fases.

• En el caso del oscilador libre podemos apreciar que la amplitud no cambia, la energía del oscilador es constante, y describe una trayectoria elíptica en el espacio de las fases.
• En el caso del oscilador amortiguado, la amplitud decrece exponencialmente con el tiempo, la energía disminuye, y describe una trayectoria en forma de espiral en el espacio de las fases. Asimismo, se pueden estudiar los casos de oscilaciones críticas y sobreamortiguadas.
• En el caso del oscilador forzado, se estudia el estado transitorio y su dependencia de las condiciones iniciales y del rozamiento. Se estudia el estado estacionario (si es que se alcanza), en la resonancia o cerca de la misma. Se comprueba la necesidad de calcular valores medios durante el periodo de una oscilación en la representación de la energía en función del tiempo. En la ventana del applet, podemos observar los vectores que representan la fuerza oscilante y la velocidad de la partícula que oscila, comprobando que están en fase cuando la frecuencia de la fuerza oscilante se aproxima a la frecuencia propia del oscilador, es decir, en la situación de resonancia.

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El oscilador caótico es un tema complementario que pretende introducir al estudiante en el estudio de los sistemas no lineales. El comportamiento de un oscilador forzado se puede predecir con toda exactitud puesto que está descrito por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, y tiene una solución analítica más o menos complicada dependiendo de las condiciones iniciales. Un modo de hacer que este sistema sea no lineal, consiste en introducir una barrera que bloquee el movimiento de la masa unida al muelle elástico. Se considera que la barrera situada en el origen x=0, posee una masa infinita y que las colisiones son perfectamente elásticas, por tanto, la barrera lo que hace es devolver la masa en la misma dirección en que vino pero con sentido opuesto y con el mismo valor de su velocidad. Para muchos valores de la frecuencia de la fuerza oscilante el movimiento resultante es simple y periódico. Sin embargo, para ciertos intervalos de valores de dichas frecuencias el movimiento deja de ser periódico y por el contrario, nunca se repite.

Cuando se representa la amplitud del oscilador que rebota en función de la frecuencia, se pueden observar bifurcaciones y regiones caóticas.

Como el comportamiento cualitativo de los sistemas que evolucionan hacia un régimen caótico es similar, se estudia  el comportamiento de un sistema no lineal simple descrito por la ecuación

para diferentes valores de un parámetro A, y a partir de un estado inicial dado.

El estudio de los osciladores acoplados, no solamente es útil en sí mismo, sino que nos permite efectuar la transición desde el capítulo de las oscilaciones al de las ondas, capítulos que suelen aparecen separados en muchos libros de texto. Se han diseñado un conjunto de applets para efectuar la conexión entre estos dos temas de gran relevancia en la Física.

Cuando se explica en clase  las oscilaciones hacemos una demostración de aula que llama la atención de los estudiantes. Se dispone horizontalmente una cuerda sujeta por dos extremos, y se cuelgan de ella dos péndulos iguales, separados una cierta distancia. Se hace oscilar uno de los péndulos, y se observa como evoluciona en el tiempo las oscilaciones de los dos péndulos. Se estudia cualitativamente el sistema desde el punto de vista energético, observando como se transfiere la energía de un péndulo a otro a través del acoplamiento.

A continuación, estudiamos los modos normales de vibración de un sistema de osciladores acoplados, un conjunto de partículas unidas a muelles elásticos. Cuando el número de partículas es grande podemos imaginarnos las vibraciones de los átomos de un sólido regular lineal. Después, buscaremos los distintos modos de vibración del sistema de masas unidas a muelles elásticos, observando el comportamiento del sistema cuando se le aplica una fuerza oscilante a una de las partículas que componen el sistema.

Otra demostración de aula consiste en observar el comportamiento de un sistema de 10 o más péndulos acoplados iguales, cuando se mueve un péndulo situado en uno de los extremos. Vemos que el movimiento del primer péndulo se transmite al segundo, de éste al tercero y así sucesivamente, a través del acoplamiento. Uno de los applets simula esta experiencia, la propagación de un pulso a lo largo de una cadena lineal. Otro de los applets, simula la propagación de una onda armónica, aplicando una fuerza oscilante a una de las partículas de un sistema formado por gran número de partículas y muelles.