Movimiento Armónico Simple

Oscilaciones

Movimiento Armónico
  Simple

M.A.S y movimiento
circular uniforme

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de la misma
dirección y distinta
frecuencia

Composición de dos
M.A.S. de direcciones
perpendiculares

Medida del desfase
y  la frecuencia

Oscilaciones libres
 y amortiguadas 

Oscilaciones forzadas

El oscilador caótico

Osciladores acoplados

Modos normales
de vibración

De las oscilaciones
a las ondas

Cinemática de un M.A.S.

Dinámica de un M.A.S.

Curvas de energía potencial

El potencial Morse

El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.

Definición

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

donde

A es la amplitud.

w la frecuencia angular.

w t+j la fase.

j la fase inicial.

Las características de un M.A.S. son:

• Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

• La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

En forma de ecuación diferencial se escribe

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x=A sen(w t+j )

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

Dicha fuerza es conservativa y la energía potencial E_p correspondiente se halla integrando

Se ha tomado como nivel cero de la energía potencial E_p=0 cuando el móvil está en el origen, x=0.

La energía total E, es la suma de la energía cinética E_k y de la energía potencial E_p. Se puede verificar que la energía total es constante e igual a

Curvas de energía potencial

En el siguiente applet vamos a  interpretar gráficamente las relaciones energéticas mediante la representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k, E_p=kx²/2. Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero E_k>=0. O bien, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=E_p. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

En el applet  podemos observar como cambian los valores de la energía cinética (en color rojo) y potencial (en color azul) a medida que se mueve la partícula a lo largo del eje X.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Instrucciones  para el manejo del programa

Se introduce la constante elástica del muelle, en el control de edición titulado Cte. del muelle, la masa de la partícula se ha tomado igual a la unidad.

Se introduce la energía total de la partícula, en el control de edición titulado Energía Total. Se pulsa en el botón titulado Empieza para comenzar la animación.

Se pulsa el botón titulado Pausa para parar momentáneamente la animación, y observar los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula. En particular, observar dichos valores, cuando la partícula pasa por el origen, y por las posiciones de máximo desplazamiento.

Se pulsa en el mismo botón titulado ahora Continua para reanudar el movimiento normal. Se pulsa varias veces en el botón titulado Paso, para acercar la partícula a una posición concreta.

El potencial de Morse

Hemos descrito el movimiento de una partícula a partir de la representación gráfica de la energía potencial de dicha partícula. En general, la función energía potencial no es tan simple como la que corresponde a una partícula unida a un muelle. Para fijar, el concepto de la conservación de la energía mecánica de una partícula, vamos a examinar un ejemplo más, el movimiento de una partícula en el potencial de Morse, dado por la función

Esta función no es simétrica y tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es E_p=-1.

Podemos observar, que la partícula no describe un movimiento armónico simple de amplitud A, sino que se mueve en una región comprendida entre -A₁ y A_2.

Ahora bien, cuando la energía total de la partícula está cerca del mínimo E>-1, el movimiento de la partícula es aproximadamente armónico simple. La razón estriba en que toda función se puede aproximar a una parábola en las proximidades del mínimo x₀, en el cual la derivada primera de la función E_p es cero.

En este ejemplo, queda más patente la asociación entre fuerza y pendiente de la curva. Observar que a la izquierda del origen la pendiente es pronunciada, por lo que la fuerza sobre la partícula es grande. En el origen, la pendiente es nula, la fuerza sobre la partícula es cero (situación de equilibrio) y a la derecha la pendiente se va haciendo cada vez más pequeña (la función potencial tiene una asíntota horizontal), por lo que la fuerza disminuye a medida que se aleja del origen hacia la derecha.

Instrucciones  para el manejo del programa

Se introduce la energía total de la partícula en el control de edición titulado Energía Total. La energía total de la partícula ha de ser menor que cero y mayor que el mínimo -1.

Se pulsa en el botón titulado Empieza para comenzar la animación.

Se pulsa el botón titulado Pausa para parar momentáneamente la animación y observar los valores de la energía cinética, potencial y la fuerza sobre la partícula. En particular, observar dichos valores, cuando la partícula pasa por el origen, y por las posiciones de máximo desplazamiento.

Se pulsa en el mismo botón titulado ahora Continua para seguir el movimiento normal. Se pulsa varias veces en el botón titulado Paso, para acercar la partícula a una posición concreta.