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Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos
Percusión en una bola de billar Deformaciones de la rueda y el plano Fuerza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Comportamiento oscilatorio Dinámica del yo-yo |
Ecuaciones de la dinámica | |||
| Para ilustrar el papel de la fuerza de rozamiento, vamos a considerar la siguiente situación. Sea un disco perfectamente rígido de masa m y de radio R que rueda sobre una superficie horizontal perfectamente rígida. Sea la velocidad inicial de su centro de masa v0 y la velocidad angular inicial alrededor de su centro de masa w0.
Ecuaciones de la dinámicaLa única fuerza que actúa sobre el disco es la fuerza de rozamiento Fr en el punto P de contacto con el plano horizontal Fr=m N=m mg La velocidad del punto P en un instante cualquiera es vP=vc-w ·R La dirección de la fuerza de rozamiento es opuesta a la dirección de la velocidad en P, vP. Hay dos posibles casos:
Primer caso, v0>w0·RLa fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda. La ecuaciones del movimiento serán
Resolviendo estas dos ecuaciones
El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular q, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente
La velocidad de traslación del c.m. vc disminuye, aumenta la de rotación w . La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es vP=vc-w ·R=(v0-w 0·R)-3m gt El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando vP=0, es decir en el instante
Segundo caso, v0<w0·RLa fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha. Las ecuaciones del movimiento serán
Resolviendo estas dos ecuaciones
El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular q, ángulo girado por el disco en el tiempo t son respectivamente
La velocidad de traslación del c.m. vc aumenta, la velocidad de rotación w disminuye La velocidad del punto P del disco en contacto con el plano horizontal es vP=vc-w ·R=(v0-w 0·R)+3m gt El movimiento de rodar (sin deslizar) se establece cuando vP=0, es decir en el instante
En ambos casos, se obtiene la misma velocidad de traslación vc del c.m. y de rotación w alrededor de un eje que pasa por el c.m, en el instante t
la relación entre ambas velocidades es vc=w ·R
Condición de rodar (sin deslizar)Como podemos apreciar las velocidades finales en el momento en el que se alcanza el estado de movimiento de rodar (sin deslizar) son independientes del coeficiente de la fuerza de rozamiento. En el momento en el que se cumple la condición vc=w ·R, la fuerza de rozamiento desaparece y el disco comienza un a segunda etapa en su movimiento caracterizada por un movimiento uniforme, es decir, se mantiene constante la velocidad de traslación del c.m, vc y en la de rotación w . Del mismo modo que los estudiantes tienden a parar un cuerpo cuando la fuerza que actúa sobre el mismo desaparece (asociación fuerza-velocidad). También surge el error conceptual de que no entiendan que al desaparecer la fuerza de rozamiento el cuerpo siga rodando, es decir, no se detenga el movimiento de rotación. De nuevo, es necesario insistir en que los momentos de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo originan un cambio en su velocidad angular.
Balance energéticoLa energía inicial del disco es
La energía final del disco es
calculamos la diferencia entre la energía final y la inicial, e introducimos en la segunda expresión el valor hallado de vc en el instante t en el que el disco rueda (sin deslizar).
Calculemos ahora el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento
ActividadesIntroducimos los siguientes datos:
Se pulsa el botón titulado Empieza. Observamos el movimiento del disco. Con flechas de color rojo se representan, la velocidad del cm. vc en cada instante, y la velocidad del punto P de contacto entre el disco y el plano horizontal vP. La velocidad vP puede ser inicialmente positiva o negativa dependiendo de que v0>w0·R ó v0<w0·R Al cabo de un cierto tiempo t la velocidad vP se hace cero y el disco rueda (sin deslizar), se cumple entonces vc=w R. En la parte superior derecha del applet, se muestran los siguientes datos:
En la parte superior del applet se representa en la misma gráfica en función del tiempo t
Observaremos que dependiendo de que v0>w0·R ó v0<w0·R, una de las velocidades se incrementa y la otra disminuye hasta que adquieren un valor común después de un tiempo t. En la parte superior izquierda se representa el diagrama de energías.
Después de un cierto tiempo t en el que el disco rueda (sin deslizar) la energía cinética de rotación es la tercera parte de la energía total, tal como hemos demostrado en el apartado balance energético. La energía cinética de rotación final está representada por un sector de 120º, mientras que la de traslación está representada por un sector de 240º. Podemos observar también, que la energía inicial es mayor que la final, la diferencia se pierde como trabajo de la fuerza de rozamiento.
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Equilibrio
rotación-traslación
