Aplicando una fuerza sobre una rueda

Sólido rígido

Ejemplo

Actividades

Fuerza de rozamiento estático

Supongamos que una fuerza externa F actúa a una distancia r<R por encima del centro de masas de una rueda. El punto P de contacto entre la rueda y el plano tiende a deslizar. Existe en dicho punto una fuerza de rozamiento F_r (estática) con un valor límite m _sN, que actúa en P para oponerse a que dicho punto (o línea de contacto) deslice. N es la reacción del plano sobre la rueda.

Esta fuerza de rozamiento Fr se puede calcular a partir de las ecuaciones del movimiento Dinámica de la traslación del c.m. F-Fr=m·ac Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. F·r+Fr·R=Ic·a Además de la condición de rodar (sin deslizar) ac=a ·R

Consideremos que el cuerpo que rueda es un cilindro o un disco de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia respecto de a su eje de simetría es I_c=mR²/2,

Resolviendo las ecuaciones anteriores, obtenemos

Esta es la fórmula de la fuerza debido al rozamiento estático, compatible con la condición de rodar (sin deslizar).

Si F se aplica en el c.m. entonces, F_r es independiente del radio R de la rueda. El valor absoluto de la fuerza de rozamiento es siempre menor que la fuerza aplicada ½ F_r½ <F, También, F_r cambia de sentido cuando r se hace mayor que R/2.

Fijarse que para que un cuerpo deslice a lo largo de una superficie horizontal es necesario que F>m_sN. Esto explica el hecho de que es más fácil poner a rodar una rueda que a deslizar un cuerpo.

Para que la rueda se mantenga rodando sin deslizar se debe de cumplir que la fuerza de rozamiento estático sea menor que el valor límite

F_r£ m_sN

Esta condición impone un valor máximo a la fuerza F aplicada.

Si se supera este valor límite la rueda empieza a deslizar.

Si el disco rueda a lo largo de un plano inclinado. La fuerza aplicada F es la componente del peso F=mg·senq , que actúa en el c.m r=0. Y la reacción del plano N= mg·cosq . La condición para que la rueda no deslice se transforma en tgq £ 3·ms En la siguiente página estudiaremos la dinámica de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado

Ejemplo

Un cilindro de masa M y radio r tiene enrollada una cuerda en una hendidura de radio r<R, y de masa despreciable que la hace rodar sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. La cuerda pasa por una polea y de su extremo cuelga un bloque de masa m. Determinar la aceleración del bloque y su velocidad cuando haya descendido h metros partiendo del reposo.

Dinámica

Tenemos que plantear las ecuaciones de la dinámica de dos cuerpos, el bloque y el cilindro.

Sobre el bloque actúan dos fuerzas la tensión de la cuerda y el peso. La ecuación del movimiento es mg-T=ma El cilindro rueda sin deslizar sobre el plano horizontal. Escribimos las ecuaciones correspondientes al movimiento de traslación y al movimiento de rotación T-Fr=mac RFr+rT=Ica

El momento de inercia de un cilindro es I_c=MR²/2. La condición de rodar sin deslizar establece que a_c=a R

Nos queda finalmente establecer la relación entre la aceleración del bloque a y la aceleración del centro de masas del cilindro ac. La aceleración del punto P es la suma de la aceleración debida al movimiento de traslación ac y la aceleración debida al movimiento de rotación a r

Completar en un papel las siguientes tablas:

Datos del problema

Incógnitas

Una de las particularidades que se pueden observar es que la fuerza de rozamiento F_r no tiene una fórmula concreta ni tampoco su sentido está definido. Para unos valores del cociente r/R la fuerza tiene sentido positivo (por ejemplo, para r/R=0) y en otros caso tiene sentido negativo (por ejemplo para r/R=1). Existe incluso un valor para de r/R para el cual F_r tiene un valor nulo.

Así pues, la fuerza de rozamiento viene determinada por las ecuaciones del movimiento.

Balance de la energía

Cuando el bloque desciende una altura h partiendo del reposo, podemos determinar a partir de los cambios energéticos observados, la velocidad que alcanza el bloque o la velocidad del c.m. del cilindro.

• La energía potencial del bloque disminuye en mgh
• La energía cinética del bloque aumenta en mv²/2
• La energía del cilindro aumenta en Mv_c²/2+I_cw ²/2 (energía cinética de traslación del c.m. más la energía cinética de rotación)

El balance energético se expresa mediante la ecuación

Nos queda ahora relacionar la velocidad del bloque con la velocidad del c.m. del cilindro

v_c=w R es la condición de rodar sin deslizar. La velocidad del punto P es

¿Por qué no se incluye el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance energético?

Completar en un papel las siguientes tablas:

Datos del problema

Incógnitas

Actividades

Introducir los datos requeridos en los controles de edición titulados Masa del bloque, Masa del cilindro, y Relación radios.

Observar la magnitud y dirección de las fuerzas sobre el bloque y el cilindro, y en particular, la fuerza de rozamiento que actúa en el punto de contacto entre le cilindro y el plano horizontal.

Medir el tiempo que tarda en descender el bloque una determinada altura h, partiendo del reposo. Calcular la aceleración del bloque a.

Comparar este resultado con el obtenido a partir de las ecuaciones de la dinámica.

Determinar la velocidad del bloque

Comparar el resultado con la velocidad obtenida a partir de la aplicación del balance energético.