Movimiento oscilatorio de un carrete que rueda

Sólido rígido

Movimiento oscilatorio

En esta página, continuamos con la discusión del movimiento de rodar bajo la acción de una fuerza aplicada F. La diferencia con los ejemplos previos es que la fuerza F no es paralela a la superficie a lo largo de la cual rueda el cuerpo, sino que forma cierto ángulo

Este ejemplo es especialmente útil para clarificar ciertas cuestiones de mecánica de los cuerpos rígidos que se ponen de manifiesto cuando hacemos la siguiente demostración de aula. Enrollamos un hilo a un carrete y tiramos de su extremo con una fuerza F tal como indica la figura. Preguntamos a los estudiantes. ¿En qué dirección se moverá el carrete, hacia la izquierda o hacia la derecha?.

Los ejemplos que se estudian en esta página se basan en el artículo

Carnero C, Carpena P, Aguiar J. The rolling body paradox: an oscillatory motion approach. Eur. J. Phys. 18 (1997) 409-416.

Fuerza sobre un carrete

Aplicamos una fuerza F al carrete haciendo un ángulo q   con la horizontal tal como se indica en la figura. La fuerza F tiene una componente horizontal F·cosq .

De nuevo, supondremos que el carrete es un cilindro de masa m y de radio R, cuyo momento de inercia es I_c=mR²/2.

Las ecuaciones del movimiento son ahora. Dinámica de la traslación del c.m. F·cosq -Fr=m·ac Dinámica de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. -F·r+Fr·R=Ic·a Además de la condición de rodar (sin deslizar) ac=a ·R

Resolviendo las ecuaciones despejamos las incógnitas a_c y F_r.

Se producen tres casos

Equilibrio Cuando se cumple que cosq =r/R. La aceleración del c. m. es cero. Como podemos ver en la figura, la dirección de la fuerza F pasa por el punto P de contacto entre el carrete y la superficie horizontal. El momento de la fuerza aplicada respecto de P es cero, no hay rotación alrededor del eje instantáneo que pasa por P. El ángulo qc tal que cosqc=r/R, se denomina ángulo crítico

• Se mueve hacia la derecha

Cuando cosq >r/R, o bien cuando q <q_c, la aceleración a_c es positiva y el carrete se mueve hacia la derecha..

• Se mueve hacia la izquierda

Cuando cosq <r/R, o bien cuando q >q_c, la aceleración a_c es negativa y el carrete se mueve hacia la izquierda.

Actividades

Introducir los siguientes datos en los controles de edición del applet

• El valor de la fuerza aplicada F.
• La dirección de dicha fuerza, el ángulo q , que forma con la horizontal.
• La relación entre el radio del tambor r en el que está enrollada la cuerda y el radio del carrete R.
• La masa m está fijada en el programa interactivo y vale 1 kg

Se pulsa el botón titulado Empieza

Ejemplo:

Sea r/R=0.5, el ángulo crítico q_c=60º, de modo que si

1. Si q =60º el carrete no se mueve
2. Si q <60º el carrete se mueve hacia la derecha. Por ejemplo si q =30º,

• a_c=3.66 m/s²
• F_r=6.83 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

3. Si q >60º el carrete se mueve hacia la izquierda. Por ejemplo si q =70º,

• a_c=-1.58 m/s²
• F_r=6.71 N en el sentido indicado por la flecha roja en el punto P de contacto con la superficie.

Movimiento oscilatorio

Podemos hacer que el carrete describa un movimiento oscilatorio si logramos, mediante algún dispositivo que la fuerza F  forme un ángulo q   con la horizontal tal que

• q >q _c para que el carrete se desplace hacia la izquierda
• q <q _c para que el carrete se desplace hacia la derecha
• q =q _c el carrete se encuentre en situación de equilibrio

Este dispositivo representado en la figura, es el que se ha simulado en el applet. La parte más difícil es conseguir una fuerza F constante que cambie de dirección a medida que se desplaza el carrete.

La tensión del hilo es F=Mg-Ma. Como vemos F no es constante ya que depende de la aceleración a del bloque de masa M que cuelga del hilo y que a su vez está relacionada con la aceleración del carrete. En el artículo, se supone que F es aproximadamente constante.

Los detalles del cálculo de la posición x del c.m. de carrete en función del tiempo se omiten, ya que por su complejidad están más allá de lo recomendado para los estudiantes de un Curso de Física General.

En los controles de edición del applet se introducen los siguientes datos:

• La fuerza que ejerce el peso que cuelga. La tensión del hilo como hemos mencionado, se supone que es constante.
• El ángulo inicial de partida, el cual marca los límites del movimiento oscilatorio.
• La masa del carrete se mantiene constante m=1kg,
• La relación de radios es también constante y no se puede modificar r/R=0.5

Podemos observar que el movimiento del carrete está descrito cualitativamente por la curva de energía cinética (a la izquierda del applet).

La energía cinética tiene un valor positivo en el intervalo angular en (q_i, q_f) en el que se mueve el carrete, o bien desde x_i a x_f. El carrete parte de q_i con velocidad cero o con energía cinética cero, va aumentando hasta alcanzar un máximo en el ángulo crítico q_c=60º, decelera hasta que alcanza la posición de retorno q_f, donde la energía cinética vuelve a ser cero. El carrete invierte su dirección y vuelve de nuevo al punto de partida completando una oscilación.

Pulsando el botón titulado Gráfica se representa el ángulo q , en función del tiempo. Podemos apreciar a simple vista que se trata de un movimiento oscilatorio, pero difiere de un Movimiento Armónico Simple.