Composición de movimientos: traslación y rotación

Sólido rígido

Movimiento de rodar sin deslizar

Composición de movimientos

Velocidad y trayectoria de un punto de una rueda.

Movimiento general de un sólido rígido

Vamos a describir el movimiento general de un sólido rígido respecto a un observador inercial O.

En la figura vemos que la posición del punto P del sólido es rP=rC+R Donde C se refiere al centro de masas del sólido. El vector que va del centro de masas al punto P es un vector cuyo módulo es constante. Un sólido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo.

Derivando la expresión anterior respecto del tiempo obtenemos

El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la velocidad del punto P respecto del centro de masas.

Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular w alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la figura.

Así pues, el movimiento de un punto P del sólido lo podemos considerar como la suma de un movimiento de traslación del centro de masas más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de masas.

Movimiento de rodar sin deslizar

El movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

• En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.

• En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, y su dirección es tangente a dicha circunferencia.

En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplir que

La velocidad de traslación v_C es igual a la velocidad de rotación w por el radio de la rueda R.

Composición de movimientos

En este programa interactivo se trata de comprobar que el movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas.

Por otra parte, se trata de establecer la relación que debe de existir entre las velocidades de traslación y de rotación para producir un movimiento de rodar sin deslizar.

Se introduce controles de edición titulados:

• v. traslación, la velocidad de traslación,
• v. rotación, la velocidad angular de rotación
• radio, el radio de la rueda.

A continuación, se pulsa el botón titulado Empieza

Se representa el perfil de velocidades de diversos puntos de la rueda y en particular, los situados en su diámetro vertical, que son los más importantes para la resolución de los problemas. Podemos observar, que las velocidades de dichos puntos son la suma vectorial de su velocidad de traslación  y de su velocidad de rotación.

Para producir el movimiento de rodar sin deslizar, la velocidad del punto de la rueda que está en contacto con el plano horizontal debe de ser cero. Por tanto, la relación entre las velocidades de rotación y traslación deberá ser v_C=w R

Comprobar esta relación.

Fijarse finalmente, los valores de las velocidades de los puntos situados sobre el diámetro vertical. En particular, el punto más alto de la rueda tiene una velocidad que es el doble de la velocidad del centro de masas.

Velocidad y trayectoria de un punto de una rueda.

En el segundo programa interactivo, podemos observar el vector velocidad y la trayectoria que describe un punto fijo de la rueda.

Con el ratón, actuamos sobre el punto de color azul y lo movemos a la posición deseada en el diámetro vertical de la rueda. Para ello, situamos el puntero del ratón en dicho punto, pulsamos el botón izquierdo del ratón y lo arrastramos hasta la posición deseada. A continuación, dejamos de pulsar el botón izquierdo del ratón.

En la parte superior del applet, observamos la posición del punto relativa al centro de la rueda cuyo radio está fijado por el programa interactivo y es de un metro

Introducimos en los controles de edición titulados:

• v. rotación, la velocidad angular de rotación
• v. traslación, la velocidad de traslación del centro de masas .

A continuación, pulsamos el botón titulado Empieza.

Cuando la rueda llega al final de la ventana del applet, se pulsa el botón titulado Inicio para preparar otra experiencia.

Observamos la trayectoria de un punto de la rueda y su vector velocidad, suma de la velocidad del movimiento de traslación y de la velocidad del movimiento de rotación. El vector velocidad en el movimiento de traslación es siempre fijo, sin embargo, el vector velocidad en el movimiento de rotación va cambiando, es perpendicular a la dirección radial y su longitud es proporcional a la distancia entre el punto de la rueda y el centro de la misma. El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria.

Se deberá considerar aquellas situaciones en las que el disco rueda sin deslizar, (cuando la velocidad de rotación y de traslación coinciden, ya que el radio es de un metro). Y se deberá observar en esta situación el movimiento de:

• Un punto que está en la periferia de la rueda
• El centro de la rueda
• Un punto situado entre el centro y la periferia.