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Sólido rígido |
Movimiento general de un sólido rígido Composición de movimientos Equilibrio rotación-traslación
Deformaciones de la rueda y el plano Fuerza sobre una rueda Rodando por un plano inclinado Comportamiento oscilatorio Dinámica del yo-yo |
Movimiento
de la bola con sobregiro Movimiento de la bola con contragiro |
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| Vamos a estudiar el movimiento de una bola de billar sobre la superficie plana de un tapiz sometida a un impacto o percusión localizada en un punto del plano vertical que pasa por el centro de la bola. Supondremos que el tiempo de impacto es muy pequeño. La fuerza de la colisión con el taco determina la velocidad inicial de traslación de la bola. Por otro lado, el taco genera un momento que produce una velocidad inicial de rotación alrededor del centro de la bola de billar. Esta página web está basada en el artículo Jiménez F. Mecánica del billar I: Movimiento de la bola sobre el tapiz. Revista Española de Física. V-3, nº 1, 1989, pp. 31-41
Movimiento de la bola con sobregiroEn la figura, observamos todas las fuerzas que actúan sobre la bola de billar cuando el taco golpea sobre la bola a una altura h por encima del tapiz.
La fuerza F que actúa en B se puede descomponer en otras dos, una componente en la dirección radial NB y otra en la dirección tangencial RB. Ambas están relacionadas RB=mBNB con mB=tgf Donde mB es el coeficiente dinámico de rozamiento entre el taco y la bola, el cual puede ser modificado a voluntad por el jugador con la tiza. Conociendo las fuerzas que actúan sobre la bola y el tiempo t que actúan sobre la misma podemos determinar la velocidad inicial de traslación V0 del c.m. y la velocidad inicial de rotación w0. Las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular se escriben
Vamos a suponer que durante el breve intervalo de tiempo t que dura el impacto, se puede despreciar el rozamiento RA de la bola con el tapiz, frente a la componente horizontal FsenF de la fuerza que ejerce el taco, con tal que el rozamiento RB del taco y la bola sea suficientemente grande y el golpe no sea demasiado alto hà 2r. Bajo estas condiciones las ecuaciones del impulso lineal y angular se convierten en
De ambas ecuaciones eliminamos la cantidad desconocida que es el impulso de la fuerza F. Teniendo en cuanta que para una esfera de masa m y radio r, el momento de inercia Ic=2mr2/5, obtenemos la relación entre las velocidades iniciales de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Teniendo en cuanta que m B=tgf , F =f
+q , y que la altura h y el ángulo q están relacionados por
donde hemos puesto b =cosq para simplificar la expresión final. La velocidad
inicial del punto de contacto A entre la bola y el tapiz se puede obtener sumando la
velocidad correspondiente al movimiento de traslación con la velocidad correspondiente al
movimiento de rotación
Esta velocidad es positiva (negativa) según que mB
sea menor (mayor) que Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con sobregiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola. Consideremos estos dos casos:
La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es negativa
La velocidad del c.m. crece y la velocidad de rotación decrece
La velocidad del punto de contacto A viene dada por VA=vc-w r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola rodará sin deslizar con velocidad constante.
La velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz es positiva
La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación crece
La velocidad del punto de contacto A viene dada por VA=vc-w r y llegará un momento que se anule a partir del cual la bola rodará sin deslizar con velocidad contante.
ActividadesComo vemos en las fórmulas la velocidad final de la bola, no depende directamente del
radio de la bola sino de un parámetro adimensional Los datos fijados en el programa son
Datos introducidos por el usuario en los controles de edición coef. rozamiento y altura.
En este caso b =0.4, y mB>kb =0.43 Estamos en el caso que (VA)0 es negativa. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.043 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 1.08 m/s.
Datos introducidos por el usuario en los controles de edición coef. rozamiento y altura.
En este caso b =0.4, y mB<kb =0.43 Estamos en el caso que (VA)0 es positiva. El tiempo que tarda en rodar sin deslizar es de 0.040 s. Y la velocidad final constante del c.m. es de 0.92 m/s.
Movimiento de la bola con contragiro
La velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz es siempre positiva Aplicando las ecuaciones del impulso lineal y del impulso angular y suponiendo que la fuerza de rozamiento RA es pequeña frente a la componente horizontal de la fuerza de impacto durante el breve periodo t que dura el contacto del taco con la bola, obtenemos la relación entre la velocidad inicial del c.m. y la velocidad angular inicial de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
y a continuación, la velocidad inicial del punto de contacto A de la bola con el tapiz
ahora el parámetro b vale Estas ecuaciones son válidas salvo en el caso de que los golpes muy bajos hà 0. Una vez establecidas las condiciones iniciales del movimiento con contragiro, veamos el movimiento en ausencia de la fuerza F de impacto del taco con la bola.
Se anula la velocidad angular
La velocidad del c.m. decrece y la velocidad de rotación también decrece
Aquí surgen dos posibilidades que vc se anule antes que w o viceversa. Normalmente, se anula w antes que vc de modo que la bola no retrocede. La velocidad angular se hace cero w =0 en el instante
en dicho instante la velocidad del c.m. es
Se establece el movimiento de rodar sin deslizar
Para t>t1 las velocidades de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. serán respectivamente
Como vc disminuye y w aumenta llegará un momento en el que la velocidad del punto de contacto A, VA=vc-w r se anule, en dicho instante la rueda comienza a rodar sin deslizar con velocidad constante
ActividadesComo vemos en la fórmula la velocidad final de la bola, no depende directamente del
radio r de la bola sino de un parámetro adimensional Los datos fijados en el programa son
Datos introducidos por el usuario en los controles de edición coef. rozamiento y altura.
En este caso b =0.6 El tiempo que tarda la bola hasta que la velocidad angular de rotación es cero vale 0.156 s. La velocidad de traslación es entonces 0.69 m/s. Luego, vuelve a incrementarse la velocidad angular de rotación (pero en sentido contrario) hasta que la velocidad del punto A de contacto de la bola con el tapiz se hace cero y la bola rueda sin deslizar. El tiempo total que transcurre es de 0.257 s y el c.m. alcanza una velocidad constante de 0.50 m/s.
Impacto en el centro de la bola
El momento de dicha fuerza F respecto del c.m. es cero, por tanto la bola no tiene velocidad angular inicial. Del impulso lineal obtendríamos la velocidad V0 si conociéramos la fuerza F y el tiempo t que actúa sobre la bola.
La bola se mueve con una velocidad inicial de traslación V0, la fuerza de rozamiento en el punto de contacto entre la bola y el tapiz hace que esta gire y por tanto disminuya la velocidad en el punto de contacto A de la bola con el tapiz.
La velocidad del c.m. disminuye y la velocidad angular de rotación aumenta.
Al cabo de un cierto tiempo t, la velocidad del punto A se hace cero, y la bola rueda sin deslizar con velocidad constante.
vA es cero en el instante En dicho instante la velocidad constante del c.m. es
ActividadesLos datos fijados en el programa son
Datos introducidos por el usuario en el control de edición altura.
La velocidad del punto de contacto A de la bola con el suelo se hace cero en el instante t=0.145 s. A partir de este instante la bola rueda sin deslizar con velocidad constante vc=0.71 m/s |
Percusión en una
bola de billar
. La siguiente expresión relaciona las velocidades iniciales
de traslación y rotación de la bola de billar 
.
, ya que h es menor que r.
, 